Suites

Arithmetiques

u_n = u_0 + n \times r, u_{n+1} = u_n + r u_n = u_p \times r(n-p)

Somme

\sum{i=a}{b} u_i = \frac{(b-a+1)\(u_a + u_b\)}{2}

Variations

r > 0 \implies \(u_n\) croissante r < 0 \implies \(u_n\) decroissante r = 0 \implies \(u_n\) constante

Geometriques

u_n = u_0 \times q^n, u_{n+1} = u_n \times q u_n = u_p \times q^{n-p}

Somme

Pour q \different 1, \sum{i=a}{b} u_i = \frac{1-q^{b-a+1}}{1-q}

Variation

- Si q < 1, la croissance est du signe de u0.

- Si 0 < q < 1, la croissance est du signe inverse de u0.

- Sinon, on ne peut pas savoir.

Variation generale

Pour n suffisament grand :

\(u_n\) croissante si u_n < u_{n+1} \(u_n\) decroissante si u_n > u_{n+1}

Methodes

- Signe de u_{n+1} - u_n - u_n = f(n) - Si u_n > 0, \frac{u_{n+1}}{u_n} (%1)

Majoree, minoree, bornee

Majoree par M ssi \forall n \in \N, u_n < M Minoree par m ssi \forall n \in \N, u_n > m

Bornee si majoree et minoree

Limites

Comparaison

Si lim v_n = +\infty et \forall n \in \N, u_n > v_n Alors lim u_n = +\infty.

Gendarmes

Si lim v_n = lim w_n = L et v_n \le u_n \le w_n alors lim u_n = L.

Convergence

Si \(U_n\) est majoree et croissante,

ou minoree et decroissante, alors elle converge.

Fonction

U_{n+1} = f(n), U_n converge vers L et f continue \implies L = f(L)

Recurrence

Principe

En trois etapes : initialisation, heredite, conclusion.

Initialisation : On montre que la propriete est vraie pour un entier naturel n0.

Heredite : On montre que si elle est vraie pour n, alors elle est vraie pour n+1.

Conclusion : Par consequent, elle est vraie pour tout n plus grand que n0.

Exemple

Montrons que :

1+2+...+n = \frac{n(n+1)}{2}

Initialisation 1 = \frac{1 \times 2}{2}

Donc la proposition est vraie pour n=1.

Heredite

Au rang n+1 :

1+2+...+n+(n+1) = \frac{n(n+1)+2(n+1)}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}. CQFD.

Conlusion Donc \forall n \in \N*, 1+2+...+n = \frac{n(n+1)}{2}