Le Puzzle de l'Avent 2019
Posté le 01/12/2019 11:47
Bienvenue à tous dans la période de l'Avent. Pour vous aider à attendre Noël, Planète Casio vous propose son calendrier aux 24 problèmes mathématiques et informatiques. 
Le Puzzle de l'Avent de cette année est un jeu dans lequel vous devez résoudre des petits problèmes mathématiques et informatiques. Chaque jour, je vous donnerai des pièces du puzzle codées par un
code couleur. Votre tâche est de retrouver le code de chaque image et de les décoder ! À la fin du mois, les pièces se combineront pour former une
image de Noël.
J'ai demandé une Graph 35+E II à Casio pour récompenser la première personne qui résoud le puzzle. Casio a confirmé qu'ils sont d'accord, je pourrai donc envoyer le lot dès que je l'aurai reçu.
Voici l'énoncé précis du jeu !
Le but du jeu est de reconstituer intégralement l'image de Noël. Il s'agit d'une image de 128x64 pixels en quatre niveaux de gris (noir, gris foncé, gris clair, blanc). Il y a 128 pièces à ce puzzle, que je distribuerai tous les jours jusqu'à Noël.
Pour participer, envoyez-moi un MP avec votre image. La personne qui aura reconstitué le plus fidèlement l'image le 24 Décembre à 23h59 remportera le Puzzle et aura le titre de
Maître du Puzzle.
Toutes les personnes qui m'auront envoyé une participation ayant plus de 90% de pixels justes (soit 7372 sur 8192) auront également le titre.
Les pièces sont réparties en quatre cadrants comme ceci :
Contrairement à l'année dernière, les indices ne sont pas cachés, donc vous pouvez poser des questions et je vous répondrai dans une certaine mesure (sans révéler les résultats). Donc n'hésitez pas à demander dans les commentaires si vous avez du mal, je donnerai des explications !
Tous à vos postes, on commence maintenant !
Notes du futur.
• Le 23 Décembre, Filoji a reconstitué l'intégralité de l'image !
• La solution des problèmes est disponible au format PDF !
Liste des indices et pièces de l'image
1er Décembre
Pour les premiers jours, on va se concentrer sur le code couleur. Toutes les images, sauf la première, ont été un peu modifiées et bougées. Le
carré code à droite de chaque image indique quelle opération j'ai faite.
Les pièces ont été agrandies fois 2 (elles font 16x16 pixels au lieu de 8x8), je vous conseille de les réduire avant de commencer à travailler avec.
2 Décembre
Contrairement à hier, aujourd'hui les transformations se marchent un peu sur les pieds. Il faut donc trouver la bonne façon de les combiner...
Sinon le principe est exactement comme hier. Si vous avez déjà utilisé des couleurs en programmation, ça vous posera pas de problème.
3 Décembre
Il n'y a rien de vraiment nouveau, mais parfois durant les problèmes j'aurai besoin de transformer les pièces plusieurs fois.
4 Décembre
Vous avez déjà tous les éléments concernant le fonctionnement du code couleur. Désormais, on va jouer un peu avec des problèmes de maths et d'informatique.
Attention, ne vous précipitez pas car j'ai
mélangé les carrés codes.
Pour retrouver qui va avec qui, voici une aide. L'image ci-dessous représente un
graphe, avec des
noeuds (les ronds) et des
arêtes (les traits). Les noeuds de gauche représentent les pièces d'aujourd'hui, les noeuds de droite représentent les carrés codes mélangés.
J'ai fait en sorte que chaque pièces à gauche soit reliée par une arête à son carré code à droite. Mais j'ai aussi rajouté des arêtes inutiles pour vous embêter.
Votre tâche est de retrouver l'unique façon de faire correspondre les pièces avec les carrés codes par des arêtes. Ça s'appelle un
couplage parfait.
5 Décembre
Cette fois, j'ai
mélangé les pièces. Pour retrouver l'ordre correct, vous devez trier les nombres inscrits à gauche des pièces par ordre de qui se divise le mieux. L'image à côté du nombre qui se divise le moins bien se décode par le carré code
#. L'image à côté du nombre qui se divise le mieux se décode par le carré code
O. Tout le reste est dans l'ordre, vous verrez qu'il n'y a pas d'ambiguité.
6 Décembre
Aujourd'hui, j'ai encodé toutes les pièces avec
le même carré code. Pour trouver lequel, utilisez le programme Python suivant. Vous devez chercher
n et
m de sorte que la fonction
A renvoie 61. Caclulez alors
n*m%6 et vous aurez le numéro du carré code à utiliser. (Ils sont numérotés de 1 à 6 de haut en bas).
def A(m, n):
if m == 0:
return n+1
elif n == 0:
return A(m-1, 1)
else:
return A(m-1, A(m, n-1))
7 Décembre
Là encore j'ai été sympa, j'ai tout codé avec le même carré code. Pour savoir lequel, utilisez le graphe ci-dessous. Dans ce graphe, il y a des
arêtes pleines et des
arêtes pointillées, et un noeud marqué par un double trait. Je prétends qu'il existe une suite de "plein" et de "pointillé" telle que peu importe d'où vous partez, si vous suivez des arêtes du type indiqué par la suite, vous arriverez toujours au noeud marqué.
Le numéro du carré code à utiliser aujourd'hui est la longueur de la plus petite séquence de "plein" et "pointillé" qui a cette propriété.
Cela s'appelle un
mot synchronisant.
8 Décembre
Pas d'indice, vous devriez trouver tous seuls quelle pièce a été encodée comment.
9 Décembre
Je continue sur mon format simple pour l'instant, j'ai tout encodé avec le même carré code (j'espère que ça vous simplifie un peu le travail). Lequel ? Tout est inscrit dans le graphe ci-dessous.
Ce graphe contient un certain nombre de
cliques. Une clique, c'est k sommets différents qui sont totalement reliés entre eux. Cela signifie que si vous regardez deux des sommets, il y a forcément une arête entre les deux. Pour avoir une clique de taille k, il faut donc que chacun des sommets soit directement reliés aux k-1 autres !
La taille de la plus grande clique dans ce graphe est le numéro du carré code à utiliser aujourd'hui. Et pour votre information, ce problème de la
clique maximale est très difficile à résoudre (on ne connaît pas d'algorithme rapide qui trouve la plus grande clique d'un graphe).
10 Décembre
Comme d'habitude, un des carrés codes a été utilisé pour coder toutes les image. Pour retrouver lequel, déterminez le chiffre des dizaines dans le prochain élément de cette suite suite relativement connue.
18, 9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, ?
11 Décembre
Le programme ci-dessous affiche le numéro (toujours entre 1 et 6) du bon carré code... si vous arrivez au bout.
def h(x):
return not not x and g(x - (not not x))
def g(x):
return not x or h(x - (not not x))
a = 67091015026795951534974163063551679485
b = 14869428421844477043415143396333267370
c = 18130045244705851716678308487239340348
d = 27737016800392073340078206984446832421
e = 27050830777865150327799699254308046502
f = 31380753929535438225805729259152129373
print(h(a) + g(b) + h(c) + g(d) + h(e) + g(f))
12 Décembre
Comme d'habitude, un seul carré code a été utilisé pour tout encoder. Aujourd'hui, ils sont numéros de 0 (le plus haut) à 5 (le plus bas). Pour savoir quel carré j'ai utilisé, trouvez un chemin le plus long possible de s à t dans le graphe ci-dessous, et calculez sa longueur modulo 6.
13 Décembre
Les pièces sont de nouveau numérotées de 0 à 5. Trouvez p et q non triviaux tels que p×q = 142941853471579. Le numéro de la pièce aujourd'hui est égal au modulo 6 de p. Pour vous aider, sachez que le modulo 6 de q doit désigner la même pièce.
14 Décembre
Comptez le nombre de triangles dans le graphe du 9 Décembre. Un triangle, c'est quand trois noeuds sont complètement reliés entre eux (une clique de taille 3). Le résultat modulo 6 est le numéro du carré code permettant de décoder les pièces d'aujourd'hui, comptées de 0 à 5.
Pour les gens très chauds type
Dark Storm : Compter le nombre de mineurs isomorphes à K₃. Programme fortement conseillé.
15 Décembre
Comptez le nombre de façons différentes d'obtenir 15 par somme de 5, 2, 1 (sans prendre l'ordre en compte). Par exemple, 5+5+2+2+1, ou 2+2+2+2+2+2+1+1+1. Le nombre de façons modulo 6 est le numéro du carré code d'aujourd'hui.
Pour les gends très chauds type
Dark Storm : Compter le nombre de façons, toujours sans prendre l'ordre en compte, mais avec le parenthésage. Par exemple, ((5+5)+(2+2))+1 ou ((5+5)+2)+(2+1).
16 Décembre
Les carrés code sont encore numérotés de 0 à 5. Pour trouver le bon, déterminez le nombre d'arêtes minimum qu'il faut enlever pour couper la grille de taille 5 (ci-dessous) en deux parties :
Ça s'appelle une
coupe minimum.
Pour les gens très chauds type
Dark Storm : Trouver la coupe minimum du tore n×n pour tout n.
17 Décembre
Prenez la liste [7,4,2,5,1,3,6]. Elle n'est pas croissante, mais en supprimant des éléments on peut la rendre croissante. Par exemple, si je supprime 7, 4, 5 et 1, il me reste [2,3,6] qui est croissante. On appelle ça une sous-liste croissante (rien de surprenant ici).
Comptez le nombre de sous-listes croissantes de [7,4,2,5,1,3,6].
Pour les gens très chauds type
Dark Storm : Caractériser le nombre de sous-listes croissantes de taille 2 dans la liste [σ(i) : 1 ≤ i ≤ n] pour σ ∈ Sn (permutations de {1..n}).
18 Décembre
Aujourd'hui on ne fait pas très intellectuel, voici les pièces et leurs carrés codes associés, comme les premiers jours. Rassurez-vous, c'est pas aussi méchant.
19 et 20 Décembre
Pas de codage pour aujourd'hui. On arrive à la fin !
21 Décembre
Comptez le nombre de faces de la rosace au dos de la Graph 35+E II !
Il s'agit du nombre de face sur la rosace complète (la Graph 35+E II étant rectangulaire, elle n'est pas imprimée entièrement). Vous pouvez le faire sans quitter votre chaise, y compris si vous n'avez pas de Graph 35+E II.
Calculez le nombre de faces modulo 157, 97, 79 et 71. L'un de ces modulos a une parité différente des autres, et il correspond au carré code à utiliser pour déchiffrer les 8 pièces centrales.
22 Décembre Il y a des schémas de la rosace dans le manuel.
23 Décembre À cause des symétries de la rosace, il suffit de compter environ 4% des faces.
Fichier joint
Citer : Posté le 07/12/2019 20:33 | #
Considère-t-on que l'on est arrivé même si il nous reste encore des déplacements à effectuer ? Style on prévoit trois mouvements en pointillé à la suite, par exemple, mais qu'en partant d'un des points on arrive sur l'arrivée en deux déplacements ?
Non, ça ne compte pas ! Tu dois arriver au noeud marqué exactement à la fin de la séquence.
Je n'ai pas compris la même chose que toi, j'ai compris qu'il faut alterner les pointillé et les pleins, serions nous dans une impasse ? Je ne comprends donc pas l'intitulé, si il ne faut qu'une couleur, les pointillé sont impossibles, une alternance ou alors nous nous importons peu de la forme de l'arête ? Je ne comprends rien !
Tu dois trouver une séquence, par exemple "pointillé plein plein". Pour vérifier que cette séquence est solution, tu tentes de partir de n'importe quel noeud du graphe, et tu suis les flèches. Par exemple, tu pars du noeud à gauche sur la ligne du milieu, et tu empruntes la première flèche de la séquence : pointillé. Cela t'emmène tout en bas à gauche. Ensuite tu empruntes la deuxième flèche de la séquence : plein. Cela te ramène au noeud de départ. Puis tu continues avec la dernière flèche : plein. Tu arrives donc sur le noeud du milieu dans la ligne du bas. Ce n'est pas le noeud marqué, donc la séquence n'est pas une solution.
Il faut donc trouver une séquence qui est solution pour tous les noeuds à la fois.
Techniquement si on prend le cercle en haut à droite il a juste une séquence à faire, cad ligne pleine...
Oui, mais il y a plein de noeuds à partir desquels prendre la ligne pleine ne t'emmène pas au noeud marqué. Tu dois trouver une séquence unique qui t'emmène au noeud marqué peu importe d'où tu pars (y compris si tu pars du noeud marqué lui-même).
Citer : Posté le 07/12/2019 20:37 | #
On peut passer par le noeud marqué sans s'y arrêter ?
Citer : Posté le 07/12/2019 20:38 | #
On peut passer par le noeud marqué sans s'y arrêter ?
Oui, à condition que tu y reviennes pile à la fin de la séquence. Là où tu passes n'importe pas, mais tu dois finir sur le noeud marqué exactement à la fin.
Citer : Posté le 07/12/2019 20:39 | #
Ok, alors j'ai trouvé :P
Citer : Posté le 07/12/2019 20:44 | #
Moi aussi
Citer : Posté le 07/12/2019 21:05 | #
Mais donc le noir est la seul séquence
Citer : Posté le 07/12/2019 21:06 | #
Je crois que tu n'as pas compris le principe de ce Puzzle
Citer : Posté le 07/12/2019 21:07 | #
Oui je crois aussi xD
Citer : Posté le 07/12/2019 21:11 | #
Hésite pas à raconter ce que t'as fait pour qu'on te dise où tu t'es trompé...
Citer : Posté le 07/12/2019 21:13 | #
J'ai trouvé aussi
Citer : Posté le 07/12/2019 21:15 | #
Ben comme tu dit que d'où on parte, on finit au point marqué, ben je me suis dis que ça pourrait commencer par un plein et j'ai remarqué que tous pouvez accéder au point si je faisais une suite plein plein plein...
Citer : Posté le 07/12/2019 21:17 | #
Le mot "plein plein plein" n'est pas synchronisant car quand tu pars d'en haut à droite tu n'arrives pas au bon endroit.
Citer : Posté le 07/12/2019 21:51 | #
Ben quand tu pars d'en haut à droite du fait 1 plein et c'est bon
Ajouté le 07/12/2019 à 21:51 :
Je viens de comprendre
Ajouté le 07/12/2019 à 21:52 :
O-M-G
Citer : Posté le 08/12/2019 18:39 | #
Et voilà les pièces d'aujourd'hui !
Pas d'indice, vous devriez trouver tous seuls quelle pièce a été encodée comment.
Citer : Posté le 08/12/2019 21:44 | #
Bonjour
Je ne pense pas être le seul et je vais donc demander un peu d'aide pour la recomposition du puzzle, si cela est possible.
J'ai utilisé plusieurs techniques dont imprimer le puzzle mais je n'y arrive pas.
Trouver les pièces ne m'embête pas, c'est vraiment faire le puzzle, merci de l'aide !
Citer : Posté le 09/12/2019 15:52 | #
Juste, par rapport à l'énigme du 7, est-ce que si je suis sur le nœud en haut à droite, que je fais "pointillé", j'y reste ?
Citer : Posté le 09/12/2019 15:54 | #
Non, il n'y a pas d'arête pointillée partant du noeud en haut à droite, donc le chemin est invalide !
Citer : Posté le 09/12/2019 15:56 | #
Ok, c'est tout ce dont j'avais besoin pour avoir la solution
Citer : Posté le 09/12/2019 15:56 | #
Je ne pense pas être le seul et je vais donc demander un peu d'aide pour la recomposition du puzzle, si cela est possible.
Hmm, je sais pas ce que je peux dire pour t'aider. Voici quelques éléments :
• Les pièces du 1er Décembre sont toutes collées à gauche dans le premier rectangle.
• Les pièces du 2 Décembre sont toutes collées à celles du 1er.
• Après, c'est aléatoire, y compris pour tous les autres rectangles.
• Généralement, les pièces données le même jour ne se touchent pas.
Ajouté le 09/12/2019 à 21:55 :
Et pour les pièces d'aujourd'hui... voici !
Je continue sur mon format simple pour l'instant, j'ai tout encodé avec le même carré code (j'espère que ça vous simplifie un peu le travail). Lequel ? Tout est inscrit dans le graphe ci-dessous.
Ce graphe contient un certain nombre de cliques. Une clique, c'est k sommets différents qui sont totalement reliés entre eux. Cela signifie que si vous regardez deux des sommets, il y a forcément une arête entre les deux. Pour avoir une clique de taille k, il faut donc que chacun des sommets soit directement reliés aux k-1 autres !
La taille de la plus grande clique dans ce graphe est le numéro du carré code à utiliser aujourd'hui. Et pour votre information, ce problème de la clique maximale est très difficile à résoudre (on ne connaît pas d'algorithme rapide qui trouve la plus grande clique d'un graphe).
Citer : Posté le 10/12/2019 07:32 | #
Rien pigé. Tu peux pas nous mettre un exemple ?
Citer : Posté le 10/12/2019 08:50 | #
Une clique de taille 2 c'est juste deux noeuds reliés par une arête.
Une clique de taille 3 c'est un triangle.
Une clique de taille 4 c'est un carré avec les diagonales.
Ça te parle jusque-là ? Il y des exemples sur Wikipédia, dans l'article que j'ai lié.