ClrGraphÙ
AxesOffÙ
ViewWindow 1,127,0,1,63,0ÙÙ
Text 2,2,"L'espace est rapporte a un rep"Ù
Text 8,2,"ere orthonorme ³O,"Ù
Text 14,2,"−→ı ,"Ù
Text 20,2,"−→ ,"Ù
Text 26,2,"−→"Ù
Text 32,2,"k ´."Ù
Text 38,2,"Les points A, B, Cet D ont pou"Ù
Text 44,2,"r coordonnees respectives A(1 "Ù
Text 50,2,"; −1 ; 2), B(3 ; 3 ; 8), C(�"Ù
Text 56,2,"��3 ; 5 ; 4) et D(1 ; 2 ; 3)."Ø
ClsÙ
Text 2,2,"On note D la droite ayant pour"Ù
Text 8,2," representation parametrique"Ù
Text 14,2,""Ù
Text 20,2,"x = t +1"Ù
Text 26,2,"y = 2t −1"Ù
Text 32,2,"z = 3t +2"Ù
Text 38,2,", t ∈ R"Ù
Text 44,2,"et D′ la droite ayant pour r"Ù
Text 50,2,"epresentation parametrique�"Ù
Text 56,2,"��"Ø
ClsÙ
Text 2,2,""Ù
Text 8,2,"x = k +l"Ù
Text 14,2,"y = k +3"Ù
Text 20,2,"z = −k +4"Ù
Text 26,2,",k ∈ R."Ù
Text 32,2,"On note P le plan d'equation x"Ù
Text 38,2," + y −z +2 = 0."Ù
Text 44,2,"Question 1 :"Ù
Text 50,2,"Proposition a. Les droites D e"Ù
Text 56,2,"t D′ sont paralleles."Ø
ClsÙ
Text 2,2,"Proposition b. Les droites D e"Ù
Text 8,2,"t D′ sont coplanaires."Ù
Text 14,2,"Proposition c. Le point C appa"Ù
Text 20,2,"rtient a la droite D."Ù
Text 26,2,"Proposition d. Les droites D e"Ù
Text 32,2,"t D′ sont orthogonales."Ù
Text 38,2,"Question 2 :"Ù
Text 44,2,"
"Ù
Text 50,2,"Proposition a. Le plan P conti"Ù
Text 56,2,"ent la droite D et est paralle"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"le a la droite D′."Ù
Text 8,2,"
"Ù
Text 14,2,"Proposition b. Le plan P conti"Ù
Text 20,2,"ent la droite D′ et est para"Ù
Text 26,2,"llele a la droite D."Ù
Text 32,2,"
"Ù
Text 38,2,"Proposition c. Le plan P conti"Ù
Text 44,2,"ent la droite D et est orthogo"Ù
Text 50,2,"nal a la droite D′."Ø
ClsÙ
Text 2,2,"Proposition d. Le plan P conti"Ù
Text 8,2,"ent les droites D et D′."Ù
Text 14,2,"Question 3 :"Ù
Text 20,2,"
"Ù
Text 26,2,"Proposition a. Les points A, D"Ù
Text 32,2," et C sont alignes."Ù
Text 38,2,"
"Ù
Text 44,2,"Proposition b. Le triangle ABC"Ù
Text 50,2," est rectangle en A."Ø
ClsÙ
Text 2,2,"Proposition c. Le triangle ABC"Ù
Text 8,2," est equilateral."Ù
Text 14,2,"
"Ù
Text 20,2,"Proposition d. Le point D est "Ù
Text 26,2,"le milieu du segment [AB]."Ù
Text 32,2,"
"Ù
Text 38,2,"Question 4 :"Ù
Text 44,2,"On note P ′ le plan contenan"Ù
Text 50,2,"t la droite D′ et le point A"Ù
Text 56,2,". Un vecteur normal a ce plan "Ø
ClsÙ
Text 2,2,"est :"Ù
Text 8,2,"Proposition a."Ù
Text 14,2,"−→n (−1 ; 5 ; 4)"Ù
Text 20,2,"Proposition b."Ù
Text 26,2,"−→n (3 ; −1 ; 2)"Ù
Text 32,2,"Proposition c."Ù
Text 38,2,"−→n (1 ; 2 ; 3)"Ù
Text 44,2,"Proposition d."Ù
Text 50,2,"−→n (1 ; 1 ; −1)"Ù
Text 56,2,"L'entreprise Fructidoux fabriq"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"ue des compotes qu'elle condit"Ù
Text 8,2,"ionne en petits pots de 50 gra"Ù
Text 14,2,"mmes. Elle souhaite"Ù
Text 20,2,"leur attribuer la denomination"Ù
Text 26,2," « compote allegee »."Ù
Text 32,2,"La legislation impose alors qu"Ù
Text 38,2,"e la teneur en sucre, c'est-a-"Ù
Text 44,2,"dire la proportion de sucre da"Ù
Text 50,2,"ns la compote, soit comprise"Ù
Text 56,2,"entre 0,16 et 0,18. On dit dan"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"s ce cas que le petit pot de c"Ù
Text 8,2,"ompote est conforme."Ù
Text 14,2,"L'entreprise possede deux chai"Ù
Text 20,2,"nes de fabrication F1 et F2."Ù
Text 26,2,"Les parties A et B peuvent etr"Ù
Text 32,2,"e traitees independamment"Ù
Text 38,2,"
"Ù
Text 44,2,"Partie A"Ù
Text 50,2,"La chaine de production F2 sem"Ù
Text 56,2,"ble plus fiable que la chaine "Ø
ClsÙ
Text 2,2,"de production F1. Elle est cep"Ù
Text 8,2,"endant moins rapide."Ù
Text 14,2,"Ainsi, dans la production tota"Ù
Text 20,2,"le, 70% des petits pots provie"Ù
Text 26,2,"nnent de la chaine F1 et 30% d"Ù
Text 32,2,"e la chaine F2."Ù
Text 38,2,"La chaine F1 produit 5% de com"Ù
Text 44,2,"potes non conformes et la chai"Ù
Text 50,2,"ne F2 en produit 1%."Ù
Text 56,2,"On preleve au hasard un petit "Ø
ClsÙ
Text 2,2,"pot dans la production totale."Ù
Text 8,2," On considere les evenements :"Ù
Text 14,2,"E : « Le petit pot provient d"Ù
Text 20,2,"e la chaine F2 »"Ù
Text 26,2,"C : « Le petit pot est confor"Ù
Text 32,2,"me. »"Ù
Text 38,2,"
"Ù
Text 44,2,"1. Construire un arbre pondere"Ù
Text 50,2," sur lequel on indiquera les d"Ù
Text 56,2,"onnees qui precedent."Ø
ClsÙ
Text 2,2,"
"Ù
Text 8,2,"2. Calculer la probabilite de "Ù
Text 14,2,"l'evenement : « Le petit pot "Ù
Text 20,2,"est conforme et provient de la"Ù
Text 26,2," chaine de production"Ù
Text 32,2,"F1. »"Ù
Text 38,2,"
"Ù
Text 44,2,"3. Determiner la probabilite d"Ù
Text 50,2,"e l'evenement C."Ø
ClsÙ
Text 2,2,"4. Determiner, a 10−3 pres, "Ù
Text 8,2,"la probabilite de l'evenement "Ù
Text 14,2,"E sachant que l'evenement C es"Ù
Text 20,2,"t realise."Ù
Text 26,2,"Partie B"Ù
Text 32,2,"
"Ù
Text 38,2,"1. On note X la variable aleat"Ù
Text 44,2,"oire qui, a un petit pot pris "Ù
Text 50,2,"au hasard dans la production d"Ù
Text 56,2,"e la chaine F1, associe"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"sa teneur en sucre."Ù
Text 8,2,"On suppose que X suit la loi n"Ù
Text 14,2,"ormale d'esperance m1 = 0,17 e"Ù
Text 20,2,"t d'ecart-type σ1 = 0,006."Ù
Text 26,2,"Dans la suite, on pourra utili"Ù
Text 32,2,"ser le tableau ci-dessous."Ù
Text 38,2,"α        β        P(α6 X 6�"Ù
Text 44,2,"�)"Ù
Text 50,2,"0,13  0,15  0,000 4"Ù
Text 56,2,"0,14  0,16  0,047 8"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"0,15  0,17  0,499 6"Ù
Text 8,2,"0,16  0,18  0,904 4"Ù
Text 14,2,"0,17  0,19  0,499 6"Ù
Text 20,2,"0,18  0,20  0,047 8"Ù
Text 26,2,"0,19  0,21  0,000 4"Ù
Text 32,2,"Donner une valeur approchee a "Ù
Text 38,2,"10−4 pres de la probabilite "Ù
Text 44,2,"qu'un petit pot preleve au has"Ù
Text 50,2,"ard dans la production"Ù
Text 56,2,"de la chaine F1 soit conforme."Ø
ClsÙ
Text 2,2,"
"Ù
Text 8,2,"2. On note Y la variable aleat"Ù
Text 14,2,"oire qui, a un petit pot pris "Ù
Text 20,2,"au hasard dans la production d"Ù
Text 26,2,"e la chaine F2, associe"Ù
Text 32,2,"sa teneur en sucre."Ù
Text 38,2,"On suppose que Y suit la loi n"Ù
Text 44,2,"ormale d'esperance m2 = 0,17 e"Ù
Text 50,2,"t d'ecart-type σ2."Ù
Text 56,2,"On suppose de plus que la prob"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"abilite qu'un petit pot prelev"Ù
Text 8,2,"e au hasard dans la production"Ù
Text 14,2," de la chaine F2"Ù
Text 20,2,"soit conforme est egale a 0,99"Ù
Text 26,2,"."Ù
Text 32,2,"Soit Z la variable aleatoire d"Ù
Text 38,2,"efinie par Z ="Ù
Text 44,2,"Y −m2"Ù
Text 50,2,"σ2"Ù
Text 56,2,"."Ø
ClsÙ
Text 2,2,"a. Quelle loi la variable alea"Ù
Text 8,2,"toire Z suit-elle ?"Ù
Text 14,2,"b. Determiner, en fonction de�"Ù
Text 20,2,"�2 l'intervalle auquel apparti"Ù
Text 26,2,"ent Z lorsque Y appartient a l"Ù
Text 32,2,"'intervalle [0,16 ; 0,18]."Ù
Text 38,2,"c. En deduire une valeur appro"Ù
Text 44,2,"chee a 10−3 pres de σ2."Ù
Text 50,2,"On pourra utiliser le tableau "Ù
Text 56,2,"donne ci-dessous, dans lequel "Ø
ClsÙ
Text 2,2,"la variable aleatoire Z suit l"Ù
Text 8,2,"a loi normale"Ù
Text 14,2,"d'esperance 0 et d'ecart-type "Ù
Text 20,2,"1."Ù
Text 26,2,"
"Ù
Text 32,2,"β           P(−β6 Z 6β)"Ù
Text 38,2,"2,432   4 0,985"Ù
Text 44,2,"2,457   3 0,986"Ù
Text 50,2,"2,483   8 0,987"Ù
Text 56,2,"2,512   1 0,988"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"2,542   7 0,989"Ù
Text 8,2,"2,575   8 0,990"Ù
Text 14,2,"2,612   1 0,991"Ù
Text 20,2,"2,652   1 0,992"Ù
Text 26,2,"2,696   8 0,993"Ù
Text 32,2,"
"Ù
Text 38,2,"Étant donne un nombre reel k,"Ù
Text 44,2," on considere la fonction fk d"Ù
Text 50,2,"efinie sur R par"Ù
Text 56,2,"fk (x) ="Ø
ClsÙ
Text 2,2,"1"Ù
Text 8,2,"1+e−kx"Ù
Text 14,2,"."Ù
Text 20,2,"Le plan est muni d'un repere o"Ù
Text 26,2,"rthonorme ³O,"Ù
Text 32,2,"−→ı ,"Ù
Text 38,2,"−→ ´."Ù
Text 44,2,"Partie A"Ù
Text 50,2,"Dans cette partie on choisit k"Ù
Text 56,2," = 1. On a donc, pour tout ree"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"l x, f1(x) ="Ù
Text 8,2,"1"Ù
Text 14,2,"1+e−x ."Ù
Text 20,2,"La representation graphique C1"Ù
Text 26,2," de la fonction f1 dans le rep"Ù
Text 32,2,"ere ³O,"Ù
Text 38,2,"−→ı ,"Ù
Text 44,2,"−→ ´ est donnee en ANN"Ù
Text 50,2,"EXE, a rendre avec"Ù
Text 56,2,"la copie."Ø
ClsÙ
Text 2,2,"1. Determiner les limites de f"Ù
Text 8,2,"1(x) en +∞et en −∞et int"Ù
Text 14,2,"erpreter graphiquement les res"Ù
Text 20,2,"ultats obtenus."Ù
Text 26,2,"2. Demontrer que, pour tout re"Ù
Text 32,2,"el x, f1(x) ="Ù
Text 38,2,"ex"Ù
Text 44,2,"1+ex ."Ù
Text 50,2,"3. On appelle f ′"Ù
Text 56,2,"1 la fonction derivee de f1 su"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"r R. Calculer, pour tout reel "Ù
Text 8,2,"x, f ′"Ù
Text 14,2,"1(x)."Ù
Text 20,2,"En deduire les variations de l"Ù
Text 26,2,"a fonction f1 sur R."Ù
Text 32,2,"4. On definit le nombre I =Z1"Ù
Text 38,2,"0"Ù
Text 44,2,"f1(x)dx."Ù
Text 50,2,"Montrer que I = ln[(1+e)/2]"Ù
Text 56,2,"Donner une interpretation grap"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"hique de I ."Ù
Text 8,2,"Partie B"Ù
Text 14,2,"Dans cette partie, on choisit "Ù
Text 20,2,"k = −1 et on souhaite tracer"Ù
Text 26,2," la courbe C−1 representant "Ù
Text 32,2,"la fonction f−1."Ù
Text 38,2,"Pour tout reel x, on appelle P"Ù
Text 44,2," le point de C1 d'abscisse x e"Ù
Text 50,2,"t Mle point de C−1 d'absciss"Ù
Text 56,2,"e x."Ø
ClsÙ
Text 2,2,"On note K lemilieu du segment "Ù
Text 8,2,"[MP]."Ù
Text 14,2,"
"Ù
Text 20,2,"1. Montrer que, pour tout reel"Ù
Text 26,2," x, f1(x)+ f−1(x) = 1."Ù
Text 32,2,"
"Ù
Text 38,2,"2. En deduire que le point K a"Ù
Text 44,2,"ppartient a la droite d'equati"Ù
Text 50,2,"on y = 1/2"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"3. Tracer la courbe C−1 sur "Ù
Text 8,2,"l'ANNEXE, a rendre avec la cop"Ù
Text 14,2,"ie."Ù
Text 20,2,"
"Ù
Text 26,2,"4. En deduire l'aire, en unite"Ù
Text 32,2,"s d'aire, du domaine delimite "Ù
Text 38,2,"par les courbes C1, C−1 l'ax"Ù
Text 44,2,"e des ordonnees et la"Ù
Text 50,2,"droite d'equation x = 1."Ø
ClsÙ
Text 2,2,"Partie C"Ù
Text 8,2,"Dans cette partie, on ne privi"Ù
Text 14,2,"legie pas de valeur particulie"Ù
Text 20,2,"re du parametre k."Ù
Text 26,2,"Pour chacune des affirmations "Ù
Text 32,2,"suivantes, dire si elle est vr"Ù
Text 38,2,"aie ou fausse et justifier la "Ù
Text 44,2,"reponse."Ù
Text 50,2,"
"Ù
Text 56,2,"1. Quelle que soit la valeur d"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"u nombre reel k, la representa"Ù
Text 8,2,"tion graphique de la fonction "Ù
Text 14,2,"fk est strictement"Ù
Text 20,2,"comprise entre les droites d'e"Ù
Text 26,2,"quations y = 0 et y = 1."Ù
Text 32,2,"
"Ù
Text 38,2,"2. Quelle que soit la valeur d"Ù
Text 44,2,"u reel k, la fonction fk est s"Ù
Text 50,2,"trictement croissante."Ø
ClsÙ
Text 2,2,"3. Pour tout reel k >10, fk"Ù
Text 8,2," (1/"Ù
Text 14,2,"2)>0,99."Ù
Text 20,2,"
"Ù
Text 26,2,"Partie Spe"Ù
Text 32,2,"On considere la suite (un) def"Ù
Text 38,2,"inie par u0 = 3, u1 = 8 et, po"Ù
Text 44,2,"ur tout n superieur ou egal a "Ù
Text 50,2,"0 :"Ù
Text 56,2,"un+2 = 5un+1 −6un ."Ø
ClsÙ
Text 2,2,"1. Calculer u2 et u3."Ù
Text 8,2,"2. Pour tout entier naturel n "Ù
Text 14,2,">2, on souhaite calculer un"Ù
Text 20,2," a l'aide de l'algorithme suiv"Ù
Text 26,2,"ant :"Ù
Text 32,2,"Variables : a,b et c sont des "Ù
Text 38,2,"nombres reels"Ù
Text 44,2,"i et n sont des nombres entier"Ù
Text 50,2,"s naturels superieurs ou egaux"Ù
Text 56,2," a 2"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"Initialisation : a prend la va"Ù
Text 8,2,"leur 3"Ù
Text 14,2,"b prend la valeur 8"Ù
Text 20,2,"Traitement : Saisir n"Ù
Text 26,2,"Pour i variant de 2 a n faire"Ù
Text 32,2,"c prend la valeur a"Ù
Text 38,2,"a prend la valeur b"Ù
Text 44,2,"b prend la valeur . . ."Ù
Text 50,2,"Fin Pour"Ù
Text 56,2,"Sortie : Afficher b"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"a. Recopier la ligne de cet al"Ù
Text 8,2,"gorithme comportant des pointi"Ù
Text 14,2,"lles et les completer."Ù
Text 20,2,"On obtient avec cet algorithme"Ù
Text 26,2," le tableau de valeurs suivant"Ù
Text 32,2," :"Ù
Text 38,2,"n 7 8 9 10 11 12 13 14 15"Ù
Text 44,2,"un 4502 13378 39878 119122 356"Ù
Text 50,2,"342 1066978 3196838 9582322 28"Ù
Text 56,2,"730582"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"b. Quelle conjecture peut-on e"Ù
Text 8,2,"mettre concernant la monotonie"Ù
Text 14,2," de la suite (un) ?"Ù
Text 20,2,"3. Pour tout entier naturel n,"Ù
Text 26,2," on note Cn lamatrice colonne "Ù
Text 32,2,"µun+1"Ù
Text 38,2,"un ¶."Ù
Text 44,2,"On note A la matrice carree d'"Ù
Text 50,2,"ordre 2 telle que, pour tout e"Ù
Text 56,2,"ntier naturel n,"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"Cn+1 = ACn."Ù
Text 8,2,"Determiner A et prouver que, p"Ù
Text 14,2,"our tout entier naturel n, Cn "Ù
Text 20,2,"= AnC0."Ù
Text 26,2,"
"Ù
Text 32,2,"4. Soient P = µ2 3"Ù
Text 38,2,"1 1¶, D = µ2 0"Ù
Text 44,2,"0 3¶ et Q = µ−1 3"Ù
Text 50,2,"1 −2¶."Ù
Text 56,2,"Calculer QP."Ø
ClsÙ
Text 2,2,"On admet que A = PDQ."Ù
Text 8,2,"Demontrer par recurrence que, "Ù
Text 14,2,"pour tout entier naturel non n"Ù
Text 20,2,"ul n, An = PDnQ."Ù
Text 26,2,"5. À l'aide des questions pre"Ù
Text 32,2,"cedentes, on peut etablir le r"Ù
Text 38,2,"esultat suivant, que l'on adme"Ù
Text 44,2,"t."Ù
Text 50,2,"Pour tout entier naturel non n"Ù
Text 56,2,"ul n,"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"An = µ−2n+1 +3n+1 3×2n+1 �"Ù
Text 8,2,"��2×3n+1"Ù
Text 14,2,"−2n +3n 3×2n −2×3n ¶."Ù
Text 20,2,"En deduire une expression de u"Ù
Text 26,2,"n en fonction de n."Ù
Text 32,2,"La suite (un) a-t-elle une lim"Ù
Text 38,2,"ite ?"Ù
Text 44,2,"
"Ù
Text 50,2,"CORRECTION"Ù
Text 56,2,"L'espace est rapporte a un rep"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"ere orthonorme"Ù
Text 8,2,"³"Ù
Text 14,2,"O,"Ù
Text 20,2,"¡!"Ù
Text 26,2,"ı ,"Ù
Text 32,2,"¡!"Ù
Text 38,2,"| ,"Ù
Text 44,2,"¡!"Ù
Text 50,2,"k"Ù
Text 56,2,"´"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"."Ù
Text 8,2,"Les points A, B, Cet D ont pou"Ù
Text 14,2,"r coordonnees respectives A(1 "Ù
Text 20,2,"; ¡1 ; 2), B(3 ; 3 ; 8), C(¡"Ù
Text 26,2,"3 ; 5 ; 4) et D(1 ; 2 ; 3)."Ù
Text 32,2,"On a les equations des droites"Ù
Text 38,2," D :"Ù
Text 44,2,"8<"Ù
Text 50,2,":"Ù
Text 56,2,"x = t +1"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"y =2t -1"Ù
Text 8,2,"z =3t +2"Ù
Text 14,2,", t 2 R et D'"Ù
Text 20,2,"8<"Ù
Text 26,2,":"Ù
Text 32,2,"x = k +1"Ù
Text 38,2,"y =k +3"Ù
Text 44,2,"z =-k +4"Ù
Text 50,2,",k 2 R."Ù
Text 56,2,"On note P le plan d'equation x"Ø
ClsÙ
Text 2,2," + y -z +2 = 0."Ù
Text 8,2,"Question 1 : Proposition d. Le"Ù
Text 14,2,"s droites D et D0 sont orthogo"Ù
Text 20,2,"nales."Ù
Text 26,2,"Des vecteurs directeurs des dr"Ù
Text 32,2,"oites D et D0 sont respectivem"Ù
Text 38,2,"ent"Ù
Text 44,2,"¡¡!"Ù
Text 50,2,"vD (1 ; 2 ; 3) et"Ù
Text 56,2,"¡¡!"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"vD'(1 ; 1 ; ¡1)"Ù
Text 8,2,"Le produit scalaire"Ù
Text 14,2,"¡¡!"Ù
Text 20,2,"vD.vD'=0 donc les vecteurs dir"Ù
Text 26,2,"ecteurs des droites sont ortho"Ù
Text 32,2,"gonaux."Ù
Text 38,2,"Question 2 : Proposition c. Le"Ù
Text 44,2," plan P contient la droite D e"Ù
Text 50,2,"t est orthogonal a la droite D"Ù
Text 56,2,"'."Ø
ClsÙ
Text 2,2,"– En remplacant les coordonn"Ù
Text 8,2,"ees d'un point de la droite D "Ù
Text 14,2,"dans l'equation du plan P on v"Ù
Text 20,2,"erifie bien que le plan"Ù
Text 26,2,"P contient la droite D. Pour t"Ù
Text 32,2,"ous les reels t on a : (t +1)+"Ù
Text 38,2,"(2t -1)-(3t -2)+2 =0."Ù
Text 44,2,"En remplacant les coordonnees "Ù
Text 50,2,"d'un point de la droite D' dan"Ù
Text 56,2,"s l'equation du plan P on veri"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"fie bien que le plan"Ù
Text 8,2,"P ne contient pas la droite D0"Ù
Text 14,2,". Pour tous les reels t on a :"Ù
Text 20,2," (k +1)+(k +3)-(-k +4)+2 = 3k "Ù
Text 26,2,"+2."Ù
Text 32,2,"Cela elimine les propositions "Ù
Text 38,2,"b et d."Ù
Text 44,2,"– Un vecteur normal au plan "Ù
Text 50,2,"P est"Ù
Text 56,2,"¡¡!"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"nP (1 ; 1 ; -1) qui est coline"Ù
Text 8,2,"aire (meme egal) a"Ù
Text 14,2,"¡¡!"Ù
Text 20,2,"vD'(1 ; 1 ; -1), donc le plan "Ù
Text 26,2,"P"Ù
Text 32,2,"contient la droite D et est or"Ù
Text 38,2,"thogonal a la droite D'."Ù
Text 44,2,"Question 3 : Proposition c. Le"Ù
Text 50,2," triangle ABC est equilateral."Ù
Text 56,2,"¡¡!"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"AB (2 ; 4 ; 6) ,"Ù
Text 8,2,"¡¡!"Ù
Text 14,2,"BC (-6 ; 2 ; -4) ,"Ù
Text 20,2,"¡¡!"Ù
Text 26,2,"AC (-4 ; 6 ; 2) ,"Ù
Text 32,2,"¡¡!"Ù
Text 38,2,"AD (0 ; 3 ; 1)."Ù
Text 44,2,"– Les vecteurs"Ù
Text 50,2,"¡¡!"Ù
Text 56,2,"AC (¡4 ; 6 ; 2) et"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"¡¡!"Ù
Text 8,2,"AD (0 ; 3 ; 1) ne sont pas col"Ù
Text 14,2,"ineaires, donc cela elimine la"Ù
Text 20,2," proposition a."Ù
Text 26,2,"– AB = 2"Ù
Text 32,2,"p"Ù
Text 38,2,"14 = BC = AC, donc le triangle"Ù
Text 44,2," ABC est equilateral."Ù
Text 50,2,"Question 4 : Proposition b."Ù
Text 56,2,"¡!"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"n (3 ; -1 ; 2)"Ù
Text 8,2,"–"Ù
Text 14,2,"¡!"Ù
Text 20,2,"n (1 ; 1 ; -1) n'est pas ortho"Ù
Text 26,2,"gonal a"Ù
Text 32,2,"¡¡!"Ù
Text 38,2,"vD'(1 ; 1 ; -1) ce qui elimine"Ù
Text 44,2," la proposition d."Ù
Text 50,2,"– Les 3 autres vecteurs sont"Ù
Text 56,2," bien orthogonaux a"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"¡¡!"Ù
Text 8,2,"vD' (1 ; 1 ; -1)."Ù
Text 14,2,"– L'equation de P 0, le plan"Ù
Text 20,2," contenant le point A(1 ; -1 ;"Ù
Text 26,2," 2) et de vecteur vecteur norm"Ù
Text 32,2,"al"Ù
Text 38,2,"¡!"Ù
Text 44,2,"n (3 ; -1 ; 2) est :"Ù
Text 50,2,"(x -1).3+(y +1).(-1)+(z -2).2 "Ù
Text 56,2,"Æ 0 soit 3x - y +2z -8 = 0"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"En remplacant les coordonnees "Ù
Text 8,2,"d'un point de la droite D' dan"Ù
Text 14,2,"s l'equation du plan P 0 on ve"Ù
Text 20,2,"rifie bien que le plan"Ù
Text 26,2,"P 0 contient la droite D0."Ù
Text 32,2,"Pour tous les reels k on a : 3"Ù
Text 38,2,"(k +1)-(k +3)+2(-k +4)-8 = 0."Ù
Text 44,2,"L'entreprise Fructidoux fabriq"Ù
Text 50,2,"ue des compotes qu'elle condit"Ù
Text 56,2,"ionne en petits pots de 50 gra"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"mmes. Elle souhaite"Ù
Text 8,2,"leur attribuer la denomination"Ù
Text 14,2," « compote allegee »."Ù
Text 20,2,"La legislation impose alors qu"Ù
Text 26,2,"e la teneur en sucre, c'est-a-"Ù
Text 32,2,"dire la proportion de sucre da"Ù
Text 38,2,"ns la compote, soit comprise"Ù
Text 44,2,"entre 0,16 et 0,18. On dit dan"Ù
Text 50,2,"s ce cas que le petit pot de c"Ù
Text 56,2,"ompote est conforme."Ø
ClsÙ
Text 2,2,"L'entreprise possede deux chai"Ù
Text 8,2,"nes de fabrication F1 et F2."Ù
Text 14,2,"Les parties A et B peuvent etr"Ù
Text 20,2,"e traitees independamment"Ù
Text 26,2,"Partie A"Ù
Text 32,2,"La chaine de production F2 sem"Ù
Text 38,2,"ble plus fiable que la chaine "Ù
Text 44,2,"de production F1. Elle est cep"Ù
Text 50,2,"endant moins rapide."Ù
Text 56,2,"Ainsi, dans la production tota"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"le, 70% des petits pots provie"Ù
Text 8,2,"nnent de la chaine F1 et 30% d"Ù
Text 14,2,"e la chaine F2."Ù
Text 20,2,"La chaine F1 produit 5% de com"Ù
Text 26,2,"potes non conformes et la chai"Ù
Text 32,2,"ne F2 en produit 1 %."Ù
Text 38,2,"On preleve au hasard un petit "Ù
Text 44,2,"pot dans la production totale."Ù
Text 50,2," On considere les evenements :"Ù
Text 56,2,"E : « Le petit pot provient d"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"e la chaine F2 »"Ù
Text 8,2,"C : « Le petit pot est confor"Ù
Text 14,2,"me. »"Ù
Text 20,2,"1. Construire un arbre pondere"Ù
Text 26,2," sur lequel on indiquera les d"Ù
Text 32,2,"onnees qui precedent."Ù
Text 38,2,"30"Ù
Text 44,2,"100"Ù
Text 50,2,"99"Ù
Text 56,2,"100"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"1"Ù
Text 8,2,"100"Ù
Text 14,2,"70"Ù
Text 20,2,"100"Ù
Text 26,2,"95"Ù
Text 32,2,"100"Ù
Text 38,2,"5"Ù
Text 44,2,"100"Ù
Text 50,2,"E(F2)"Ù
Text 56,2,"C"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"C"Ù
Text 8,2,"E(F1)"Ù
Text 14,2,"C"Ù
Text 20,2,"C"Ù
Text 26,2,"2. Calculer la probabilite de "Ù
Text 32,2,"l'evenement : « Le petit pot "Ù
Text 38,2,"est conforme et provient de la"Ù
Text 44,2," chaine de production"Ù
Text 50,2,"F1. »"Ù
Text 56,2,"On cherche a calculer P"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"³"Ù
Text 8,2,"C \E"Ù
Text 14,2,"´"Ù
Text 20,2,"Æ PE (C)£P"Ù
Text 26,2,"³"Ù
Text 32,2,"E"Ù
Text 38,2,"´"Ù
Text 44,2,"Æ"Ù
Text 50,2,"95"Ù
Text 56,2,"100"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"£"Ù
Text 8,2,"70"Ù
Text 14,2,"100"Ù
Text 20,2,"donc P"Ù
Text 26,2,"³"Ù
Text 32,2,"C \E"Ù
Text 38,2,"´"Ù
Text 44,2,"Æ"Ù
Text 50,2,"66,5"Ù
Text 56,2,"100"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"."Ù
Text 8,2,"3. Determiner la probabilite d"Ù
Text 14,2,"e l'evenement C."Ù
Text 20,2,"On a P (C) Æ P (C \E)ÅP"Ù
Text 26,2,"³"Ù
Text 32,2,"C \E"Ù
Text 38,2,"´"Ù
Text 44,2,"Æ"Ù
Text 50,2,"99"Ù
Text 56,2,"100"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"£"Ù
Text 8,2,"30"Ù
Text 14,2,"100"Ù
Text 20,2,"Å"Ù
Text 26,2,"66,5"Ù
Text 32,2,"100"Ù
Text 38,2,"soit P (C) Æ"Ù
Text 44,2,"96,2"Ù
Text 50,2,"100"Ù
Text 56,2,"."Ø
ClsÙ
Text 2,2,"4. Determiner, a 10¡3 pres, l"Ù
Text 8,2,"a probabilite de l'evenement E"Ù
Text 14,2," sachant que l'evenement C est"Ù
Text 20,2," realise."Ù
Text 26,2,"PC (E) ="Ù
Text 32,2,"P (E \C)"Ù
Text 38,2,"P (C)="Ù
Text 44,2,"[PE (C)*P (E)]/P (C)="Ù
Text 50,2,"([99/100)"Ù
Text 56,2,"*(30/100)]/"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"(96,2/100)"Ù
Text 8,2,"et donc PC (E) = 30,9% ."Ù
Text 14,2,"
"Ù
Text 20,2,"2. On note Y la variable aleat"Ù
Text 26,2,"oire qui, a un petit pot pris "Ù
Text 32,2,"au hasard dans la production d"Ù
Text 38,2,"e la chaine F2, associe"Ù
Text 44,2,"sa teneur en sucre."Ù
Text 50,2,"On suppose que Y suit la loi n"Ù
Text 56,2,"ormale d'esperancem2 Æ 0,17 e"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"t d'ecart-type ¾2."Ù
Text 8,2,"On suppose de plus que la prob"Ù
Text 14,2,"abilite qu'un petit pot prelev"Ù
Text 20,2,"e au hasard dans la production"Ù
Text 26,2," de la chaine F2"Ù
Text 32,2,"soit conforme est egale a 0,99"Ù
Text 38,2,"."Ù
Text 44,2,"Soit Z la variable aleatoire d"Ù
Text 50,2,"efinie par Z Æ"Ù
Text 56,2,"Y ¡m2"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"¾2"Ù
Text 8,2,"."Ù
Text 14,2,"a. Quelle loi la variable alea"Ù
Text 20,2,"toire Z suit-elle ?"Ù
Text 26,2,"D'apres le cours, on sait que "Ù
Text 32,2,"Z suit une loi normale centree"Ù
Text 38,2," reduite N(0; 1)."Ù
Text 44,2,"b. Determiner, en fonction de "Ù
Text 50,2,"¾2 l'intervalle auquel appart"Ù
Text 56,2,"ient Z lorsque Y appartient a "Ø
ClsÙ
Text 2,2,"l'intervalle"Ù
Text 8,2,"[0,16 ; 0,18]."Ù
Text 14,2,"Si 0,166Y 60,18 on a :"Ù
Text 20,2,"0,16¡m2"Ù
Text 26,2,"¾2"Ù
Text 32,2,"6 Y ¡m2"Ù
Text 38,2,"¾2"Ù
Text 44,2,"6 0,18¡m2"Ù
Text 50,2,"¾2"Ù
Text 56,2,"et donc"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"¡0,01"Ù
Text 8,2,"¾2"Ù
Text 14,2,"6 Z 6 0,01"Ù
Text 20,2,"¾2"Ù
Text 26,2,"c. En deduire une valeur appro"Ù
Text 32,2,"chee a 10¡3 pres de ¾2."Ù
Text 38,2,"On pourra utiliser le tableau "Ù
Text 44,2,"donne ci-dessous, dans lequel "Ù
Text 50,2,"la variable aleatoire Z suit l"Ù
Text 56,2,"a loi normale"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"d'esperance 0 et d'ecart-type "Ù
Text 8,2,"1."Ù
Text 14,2,"¯ P(¡¯6 Z 6¯)"Ù
Text 20,2,"2,432 4 0,985"Ù
Text 26,2,"2,457 3 0,986"Ù
Text 32,2,"2,483 8 0,987"Ù
Text 38,2,"2,512 1 0,988"Ù
Text 44,2,"2,542 7 0,989"Ù
Text 50,2,"2,575 8 0,990"Ù
Text 56,2,"2,612 1 0,991"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"2,652 1 0,992"Ù
Text 8,2,"2,696 8 0,993"Ù
Text 14,2,"D'apres les donnees on sait qu"Ù
Text 20,2,"e la probabilite qu'un petit p"Ù
Text 26,2,"ot preleve au hasard dans la p"Ù
Text 32,2,"roduction de la"Ù
Text 38,2,"chaine F2 soit conforme est eg"Ù
Text 44,2,"ale a 0,99, donc P(0,166Y 60,1"Ù
Text 50,2,"8) Æ 0,99."Ù
Text 56,2,"De ce fait d'apres la question"Ø
ClsÙ
Text 2,2," precedente : P"Ù
Text 8,2,"µ"Ù
Text 14,2,"¡0,01"Ù
Text 20,2,"¾2"Ù
Text 26,2,"6 Z 6 0,01"Ù
Text 32,2,"¾2"Ù
Text 38,2,"¶"Ù
Text 44,2,"Æ 0,99"Ù
Text 50,2,"Le tableau de valeurs nous don"Ù
Text 56,2,"ne alors P(¡¯6 Z 6¯) Æ 0,9"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"9 pour ¯ Æ 2,5758."Ù
Text 8,2,"On en deduite que ¾2 Æ"Ù
Text 14,2,"0,01"Ù
Text 20,2,"2,5758"Ù
Text 26,2,"¼ 0,004 a 10¡3 pres ."Ù
Text 32,2,"
"Ù
Text 38,2,"Partie B"Ù
Text 44,2,"1. On note X la variable aleat"Ù
Text 50,2,"oire qui, a un petit pot pris "Ù
Text 56,2,"au hasard dans la production d"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"e la chaine F1, associe"Ù
Text 8,2,"sa teneur en sucre. On suppose"Ù
Text 14,2," que X suit la loi normale d'e"Ù
Text 20,2,"sperance m1 = 0,17 et d'ecart-"Ù
Text 26,2,"type 1 = 0,006."Ù
Text 32,2,"Dans la suite, on pourra utili"Ù
Text 38,2,"ser le tableau ci-dessous."Ù
Text 44,2,"® ¯             P(®6 X 6¯)"Ù
Text 50,2,"0,13  0,15  0,000 4"Ù
Text 56,2,"0,14  0,16  0,047 8"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"0,15  0,17  0,499 6"Ù
Text 8,2,"0,16  0,18  0,904 4"Ù
Text 14,2,"0,17  0,19  0,499 6"Ù
Text 20,2,"0,18  0,20  0,047 8"Ù
Text 26,2,"0,19  0,21  0,000 4"Ù
Text 32,2,"Donner une valeur approchee a "Ù
Text 38,2,"10^-4 pres de la probabilite q"Ù
Text 44,2,"u'un petit pot preleve au hasa"Ù
Text 50,2,"rd dans la production"Ù
Text 56,2,"de la chaine F1 soit conforme."Ø
ClsÙ
Text 2,2,"En utilisant le tableau on a :"Ù
Text 8,2," P (0,16   inferieure ou egale"Ù
Text 14,2," X inferieure ou egale  0,18) "Ù
Text 20,2,"= 0,9044 ."Ù
Text 26,2,"
"Ù
Text 32,2,"2. On note Y la variable aleat"Ù
Text 38,2,"oire qui, a un petit pot pris "Ù
Text 44,2,"au hasard dans la production d"Ù
Text 50,2,"e la chaine F2, associe"Ù
Text 56,2,"sa teneur en sucre."Ø
ClsÙ
Text 2,2,"On suppose que Y suit la loi n"Ù
Text 8,2,"ormale d'esperance m2 = 0,17 e"Ù
Text 14,2,"t d'ecart-type stigma2."Ù
Text 20,2,"On suppose de plus que la prob"Ù
Text 26,2,"abilite qu'un petit pot prelev"Ù
Text 32,2,"e au hasard dans la production"Ù
Text 38,2," de la chaine F2"Ù
Text 44,2,"soit conforme est egale a 0,99"Ù
Text 50,2,"."Ù
Text 56,2,"Soit Z la variable aleatoire d"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"efinie par Z ="Ù
Text 8,2,"(Y -m2)/stigma2"Ù
Text 14,2,"."Ù
Text 20,2,"a. Quelle loi la variable alea"Ù
Text 26,2,"toire Z suit-elle ?"Ù
Text 32,2,"D'apres le cours, on sait que "Ù
Text 38,2,"Z suit une loi normale centree"Ù
Text 44,2," reduite N(0; 1)."Ù
Text 50,2,"b. Determiner, en fonction de "Ù
Text 56,2,"stigma 2 l'intervalle auquel a"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"ppartient Z lorsque Y appartie"Ù
Text 8,2,"nt a l'intervalle"Ù
Text 14,2,"[0,16 ; 0,18]."Ù
Text 20,2,"Si 0,16  inferieure ou egale Y"Ù
Text 26,2," inferieure ou egale  0,18 on "Ù
Text 32,2,"a :"Ù
Text 38,2,"(0,16-m2)/stigma2"Ù
Text 44,2," inferieure ou egale  (Y -m2)/"Ù
Text 50,2,"stigma 2"Ù
Text 56,2," inferieure ou egale (0,18-m2)"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"/stigma 2"Ù
Text 8,2,"et donc"Ù
Text 14,2,"-0,01/stigma 2"Ù
Text 20,2," inferieure ou egale  Z inferi"Ù
Text 26,2,"eure ou egale  0,01/stigma 2"Ù
Text 32,2,"c. En deduire une valeur appro"Ù
Text 38,2,"chee a 10^-3 pres de stigma2."Ù
Text 44,2,"On pourra utiliser le tableau "Ù
Text 50,2,"donne ci-dessous, dans lequel "Ù
Text 56,2,"la variable aleatoire Z suit l"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"a loi normale"Ù
Text 8,2,"d'esperance 0 et d'ecart-type "Ù
Text 14,2,"1."Ù
Text 20,2,"beta        P(-beta 6 Z 6 beta"Ù
Text 26,2,")"Ù
Text 32,2,"2,432  4 0,985"Ù
Text 38,2,"2,457  3 0,986"Ù
Text 44,2,"2,483  8 0,987"Ù
Text 50,2,"2,512  1 0,988"Ù
Text 56,2,"2,542  7 0,989"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"2,575  8 0,990"Ù
Text 8,2,"2,612  1 0,991"Ù
Text 14,2,"2,652  1 0,992"Ù
Text 20,2,"2,696  8 0,993"Ù
Text 26,2,"D'apres les donnees on sait qu"Ù
Text 32,2,"e la probabilite qu'un petit p"Ù
Text 38,2,"ot preleve au hasard dans la p"Ù
Text 44,2,"roduction de la"Ù
Text 50,2,"chaine F2 soit conforme est eg"Ù
Text 56,2,"ale a 0,99, donc P(0,166  infe"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"rieure ou egale Y inferieure o"Ù
Text 8,2,"u egale  60,18) =0,99."Ù
Text 14,2,"De ce fait d'apres la question"Ù
Text 20,2," precedente : P"Ù
Text 26,2,"
"Ù
Text 32,2,"(-0,01/stigma 2"Ù
Text 38,2," inferieure ou egale  Z  infer"Ù
Text 44,2,"ieure ou egale 0,01"Ù
Text 50,2,"/stigma 2)=0,99"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"Le tableau de valeurs nous don"Ù
Text 8,2,"ne alors P(- beta  inferieure "Ù
Text 14,2,"ou egale Z  inferieure ou egal"Ù
Text 20,2,"e  beta ) = 0,99 pour ¯ = 2,5"Ù
Text 26,2,"758."Ù
Text 32,2,"On en deduite que stigma 2 ="Ù
Text 38,2,"0,01/2,5758"Ù
Text 44,2,"=0,004 a 10^-3 pres ."Ù
Text 50,2,"
"Ù
Text 56,2,"Exercice 3."Ø
ClsÙ
Text 2,2,"
"Ù
Text 8,2,"Étant donne un nombre reel k,"Ù
Text 14,2," on considere la fonction fk d"Ù
Text 20,2,"efinie sur R par"Ù
Text 26,2,"fk (x) =1/(1+e^-kx) ."Ù
Text 32,2,"
"Ù
Text 38,2,"Partie A"Ù
Text 44,2,"Dans cette partie on choisit k"Ù
Text 50,2," =1. On a donc, pour tout reel"Ù
Text 56,2," x, f1(x) =1/(1+e^-x) ."Ø
ClsÙ
Text 2,2,"La representation graphique C1"Ù
Text 8,2," de la fonction f1 dans le rep"Ù
Text 14,2,"ere(O,i,j)"Ù
Text 20,2,"est donnee en ANNEXE."Ù
Text 26,2,"1. Determiner les limites de f"Ù
Text 32,2,"1(x) en +infiniet en -infini e"Ù
Text 38,2,"t interpreter graphiquement le"Ù
Text 44,2,"s resultats obtenus."Ù
Text 50,2,"On a lim"Ù
Text 56,2,"x_+infini"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"e^-x =0 et lim"Ù
Text 8,2,"x_-infini"Ù
Text 14,2,"e^-x = +infini"Ù
Text 20,2,"Donc :"Ù
Text 26,2,"– lim"Ù
Text 32,2,"x_ +infini"Ù
Text 38,2,"f1(x) =1 , la courbe C1 presen"Ù
Text 44,2,"te une asymptote d'equation y "Ù
Text 50,2,"=1 en + infini ."Ù
Text 56,2,"– lim"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"x _ -infini"Ù
Text 8,2,"f1(x) =0 , la courbe C1 presen"Ù
Text 14,2,"te une asymptote d'equation y "Ù
Text 20,2,"= 0 en -infini ."Ù
Text 26,2,"
"Ù
Text 32,2,"2. Demontrer que, pour tout re"Ù
Text 38,2,"el x, f1(x) =ex/(1+e^x) ."Ù
Text 44,2,"Enmultipliant numerateur et de"Ù
Text 50,2,"nominateur par ex , non nul qu"Ù
Text 56,2,"elque soit x, on a :"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"f1(x) =1/(1+e^-x)=e^x/(1+e^-x "Ù
Text 8,2,").e^x=e^x/(1+e^x) ."Ù
Text 14,2,"3. On appelle f'"Ù
Text 20,2,"1 la fonction derivee de f1 su"Ù
Text 26,2,"r R. Calculer, pour tout reel "Ù
Text 32,2,"x, f'1(x). En deduire les vari"Ù
Text 38,2,"ations de"Ù
Text 44,2,"la fonction f1 sur R."Ù
Text 50,2,"f1(x) =1/(1+e^-x) est de la fo"Ù
Text 56,2,"rme"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"1/u(x)"Ù
Text 8,2,"avec u(x) =1+e^-x . u est non "Ù
Text 14,2,"nul pour tout x, de ce fait f1"Ù
Text 20,2," est derivable"Ù
Text 26,2,"et f'1(x) =-u'(x)/u^2(x)"Ù
Text 32,2,". On obtient alors facilement "Ù
Text 38,2,"f'1(x) =e^-x/(1+e^-x )^2 ."Ù
Text 44,2,"f'1(x) est donc positif pour t"Ù
Text 50,2,"out x et f1 est croissante str"Ù
Text 56,2,"ictement sur R ."Ø
ClsÙ
Text 2,2,"4. On definit le nombre I =int"Ù
Text 8,2,"egrale (1"Ù
Text 14,2,"0)"Ù
Text 20,2,"f1(x)dx."Ù
Text 26,2,"Montrer que I = ln(1+e)/2"Ù
Text 32,2,". Donner une interpretation gr"Ù
Text 38,2,"aphique."Ù
Text 44,2,"– Calcul de I ."Ù
Text 50,2,"f1(x) =e^x/(1+e^x) est de la f"Ù
Text 56,2,"orme"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"v'(x)/v(x)"Ù
Text 8,2,"avec v(x) = 1+e^x . v etant st"Ù
Text 14,2,"rictement positif sur R, une p"Ù
Text 20,2,"rimitive de"Ù
Text 26,2,"f1(x) est lnv(x)."Ù
Text 32,2,"I =integral (1"Ù
Text 38,2,"0) f1(x)dx =[ln[1+e^x](1"Ù
Text 44,2,"0)"Ù
Text 50,2,"=ln(1+e)-ln2 et donc I= ln[(1+"Ù
Text 56,2,"e)/2]"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"
"Ù
Text 8,2,"."Ù
Text 14,2,"– Interpretation de I ."Ù
Text 20,2,"I represente l'aire du domaine"Ù
Text 26,2," plan delimite par l'axe des a"Ù
Text 32,2,"bscisses, la courbe representa"Ù
Text 38,2,"tive C1 de la"Ù
Text 44,2,"fonction f1 et les droites par"Ù
Text 50,2,"alleles a l'axe des ordonnees "Ù
Text 56,2,"d'equations respectives x = 0 "Ø
ClsÙ
Text 2,2,"et x =1. L'unite"Ù
Text 8,2,"d'aire etant l'aire du rectang"Ù
Text 14,2,"le construit sur les vecteurs "Ù
Text 20,2,"du repere"Ù
Text 26,2,"Partie B"Ù
Text 32,2,"Dans cette partie, on choisit "Ù
Text 38,2,"k = -1 et on souhaite tracer l"Ù
Text 44,2,"a courbe C-1 representant la f"Ù
Text 50,2,"onction f-1."Ù
Text 56,2,"Pour tout reel x, on appelle P"Ø
ClsÙ
Text 2,2," le point de C1 d'abscisse x e"Ù
Text 8,2,"t M le point de C-1 d'abscisse"Ù
Text 14,2," x."Ù
Text 20,2,"On note K lemilieu du segment "Ù
Text 26,2,"[MP]."Ù
Text 32,2,"1. Montrer que, pour tout reel"Ù
Text 38,2," x, f1(x)+ f-1(x) Æ 1."Ù
Text 44,2,"Pour tout reel x, f1(x)+ f-1(x"Ù
Text 50,2,") ="Ù
Text 56,2,"1/(1+e^-x)"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"+1/(1+e^x)"Ù
Text 8,2,"="Ù
Text 14,2,"1+e^x +1+e^-x)/(1+e^-x ) (1+e^"Ù
Text 20,2,"x )"Ù
Text 26,2,"="Ù
Text 32,2,"(2+e^x +e^-x)/(1+e^x +e^-x +e^"Ù
Text 38,2,"0)="Ù
Text 44,2,"(2+e^x +e^-x)/(2+e^x +e^-x)Don"Ù
Text 50,2,"c pour tout reel x f1(x)+ f-1("Ù
Text 56,2,"x) = 1 ."Ø
ClsÙ
Text 2,2,"
"Ù
Text 8,2,"2. En deduire que le point K a"Ù
Text 14,2,"ppartient a la droite d'equati"Ù
Text 20,2,"on y =1/2"Ù
Text 26,2,"."Ù
Text 32,2,"Le point K est le milieu du se"Ù
Text 38,2,"gment [MP] donc ses coordonnee"Ù
Text 44,2,"s sont : K([xM +xP2);(yM +yP)/"Ù
Text 50,2,"2)]"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"Soit K"Ù
Text 8,2,"(x +x)/2;(f1(x)+ [f-1(x)])/2"Ù
Text 14,2,", or d'apres la question prece"Ù
Text 20,2,"dente, f1(x)+[f-(x)] =1 donc l"Ù
Text 26,2,"es coordonnees du"Ù
Text 32,2,"point K sont donc K(x ;1/2)"Ù
Text 38,2,"De ce fait, le point K apparti"Ù
Text 44,2,"ent a la droite d'equation y ="Ù
Text 50,2,"1/2"Ù
Text 56,2,"."Ø
ClsÙ
Text 2,2,"3. Tracer la courbe C-1 sur l'"Ù
Text 8,2,"ANNEXE, a rendre avec la copie"Ù
Text 14,2,"."Ù
Text 20,2,"On trace la droite d'equation "Ù
Text 26,2,"y =1/2"Ù
Text 32,2,". D'apres ce qui precede les c"Ù
Text 38,2,"ourbes C1 et C¡1 sont symetri"Ù
Text 44,2,"ques par"Ù
Text 50,2,"rapport a cette droite ce qui "Ù
Text 56,2,"permet de construire C¡1."Ø
ClsÙ
Text 2,2,"
"Ù
Text 8,2,"4. En deduire l'aire, en unite"Ù
Text 14,2,"s d'aire, du domaine delimite "Ù
Text 20,2,"par les courbes C1, C-1 l'axe "Ù
Text 26,2,"des ordonnees et la"Ù
Text 32,2,"droite d'equation x=1."Ù
Text 38,2,"– De la relation f1(x)+[f-1("Ù
Text 44,2,"x)]=1 on obtient facilement qu"Ù
Text 50,2,"e f-1(x) =1- f1(x)"Ù
Text 56,2,"et donc f1(x)-[f-1(x)] =2f1(x)"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"-1."Ù
Text 8,2,"– Comme f1(0) =1/2"Ù
Text 14,2,"et que f1 est strictement croi"Ù
Text 20,2,"ssante, pour tout reel x super"Ù
Text 26,2,"ieur ou egale a 0 , f1(x) supe"Ù
Text 32,2,"rieure ou egale a 1/2"Ù
Text 38,2,"et donc 2f1(x)-1 superieure ou"Ù
Text 44,2," egale a 0."Ù
Text 50,2,"Il en resulte que sur [0;1] , "Ù
Text 56,2,"f1(x)-[ f-1(x)] ¸ 0 ce qui en"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"traine que C1 est situee au de"Ù
Text 8,2,"ssus de C¡1."Ù
Text 14,2,"– L'aire, en unites d'aire, "Ù
Text 20,2,"du domaine delimite par les co"Ù
Text 26,2,"urbes C1, C¡1 l'axe des ordon"Ù
Text 32,2,"nees et la droite"Ù
Text 38,2,"d'equation x =1 est donc donne"Ù
Text 44,2,"e par : J = integrale (1"Ù
Text 50,2,"0)"Ù
Text 56,2,"(f1(x)-[f-1(x)])dx."Ø
ClsÙ
Text 2,2,"– Le calcul de J = integrale"Ù
Text 8,2,"  (1"Ù
Text 14,2,"o) "Ù
Text 20,2,"[2f1(x)-1]"Ù
Text 26,2,"dx est alors facile car par li"Ù
Text 32,2,"nearite de l'integrale : J =2I"Ù
Text 38,2," -1."Ù
Text 44,2,"
"Ù
Text 50,2,"On obtient donc J=2ln(1+e/2)-1"Ù
Text 56,2," ce qui nous donne l'aire rech"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"erchee en unites d'aire."Ù
Text 8,2,"
"Ù
Text 14,2,"Partie C"Ù
Text 20,2,"Dans cette partie, on ne privi"Ù
Text 26,2,"legie pas de valeur particulie"Ù
Text 32,2,"re du parametre k."Ù
Text 38,2,"Pour chacune des affirmations "Ù
Text 44,2,"suivantes, dire si elle est vr"Ù
Text 50,2,"aie ou fausse et justifier la "Ù
Text 56,2,"reponse."Ø
ClsÙ
Text 2,2,"
"Ù
Text 8,2,"1. Quelle que soit la valeur d"Ù
Text 14,2,"u nombre reel k, la representa"Ù
Text 20,2,"tion graphique de la fonction "Ù
Text 26,2,"fk est strictement"Ù
Text 32,2,"comprise entre les droites d'e"Ù
Text 38,2,"quations y Æ 0 et y Æ 1."Ù
Text 44,2,"Cette affirmation est VRAIE."Ù
Text 50,2,"pour tout x appartient a R et "Ù
Text 56,2,"pour tout k appartient a R ,(1"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"+e^-kx)"Ù
Text 8,2,"superier a 1 et donc fk (x) =1"Ù
Text 14,2,"/(1+e^-kx)"Ù
Text 20,2,"2 [0 ; 1]"Ù
Text 26,2,"
"Ù
Text 32,2,"2. Quelle que soit la valeur d"Ù
Text 38,2,"u reel k, la fonction fk est s"Ù
Text 44,2,"trictement croissante."Ù
Text 50,2,"Cette affirmation est FAUSSE."Ù
Text 56,2,"f 'k (x) =(ke^-kx)/(1+e^-kx)^2"Ø
ClsÙ
Text 2,2," qui est clairement du signe d"Ù
Text 8,2,"e k."Ù
Text 14,2,"3. Pour tout reel k > ou eg"Ù
Text 20,2,"ale 10, fk(1/2)> ou egale 0"Ù
Text 26,2,",99."Ù
Text 32,2,"Cette affirmation est VRAIE."Ù
Text 38,2,"On a fk (1/2)=1/1+e^-k/2"Ù
Text 44,2,", or :"Ù
Text 50,2,"Si k > ou egale 10"Ù
Text 56,2,"Alors e^-k/2 superieur ou egal"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"e e^-10/2 car la fonction x_e^"Ù
Text 8,2,"-x/2 est decroissante sur R."Ù
Text 14,2,"Et 1+e^-k/2 superieure ou egal"Ù
Text 20,2,"e 1+e^-10/2"Ù
Text 26,2,"d'ou"Ù
Text 32,2,"1/[1+e^-(k/2)]> ou egale 1/"Ù
Text 38,2,"(1+e^-5)=0,9933 car la fonctio"Ù
Text 44,2,"n x_1/x est decroissante sur ]"Ù
Text 50,2,"0;+infini[."Ù
Text 56,2,"Et donc on a bien fk(1/2)> "Ø
ClsÙ
Text 2,2,"ou egale0,99."Ù
Text 8,2,"
"Ù
Text 14,2,"exo spe"Ù
Text 20,2,"
"Ù
Text 26,2,"On considere la suite (un) def"Ù
Text 32,2,"inie par u0 =3, u1 = 8 et, pou"Ù
Text 38,2,"r tout n superieur ou egal a 0"Ù
Text 44,2," :"Ù
Text 50,2,"un+2 =5(un+1) -6un."Ù
Text 56,2,"1. u2 =5u1 -6u0 = 22 et u3 = 5"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"u2 -6u1 =62 ."Ù
Text 8,2,"2. Pour tout entier naturel n "Ù
Text 14,2,"> ou egale 2, on souhaite c"Ù
Text 20,2,"alculer un a l'aide de l'algor"Ù
Text 26,2,"ithme suivant :"Ù
Text 32,2,"Variables : a,b et c sont des "Ù
Text 38,2,"nombres reels"Ù
Text 44,2,"i et n sont des nombres entier"Ù
Text 50,2,"s naturels superieurs ou egaux"Ù
Text 56,2," a 2"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"Initialisation : a prend la va"Ù
Text 8,2,"leur 3"Ù
Text 14,2,"b prend la valeur 8"Ù
Text 20,2,"Traitement : Saisir n"Ù
Text 26,2,"Pour i variant de 2 a n faire"Ù
Text 32,2,"c prend la valeur a"Ù
Text 38,2,"a prend la valeur b"Ù
Text 44,2,"b prend la valeur . . ."Ù
Text 50,2,"Fin Pour"Ù
Text 56,2,"Sortie : Afficher b"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"a. La ligne manquante est donc"Ù
Text 8,2," : b prend la valeur 5a -6c ."Ù
Text 14,2,"On obtient avec cet algorithme"Ù
Text 20,2," le tableau de valeurs suivant"Ù
Text 26,2," :"Ù
Text 32,2,"n 7 8 9 10 11 12 13 14 15"Ù
Text 38,2,"un 4 502 13 378 39 878 119 122"Ù
Text 44,2," 356 342 1 066 978 3 196 838 9"Ù
Text 50,2," 582 322 28 730 582"Ù
Text 56,2,"b. Quelle conjecture peut-on e"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"mettre concernant lamonotonie "Ù
Text 8,2,"de la suite (un) ?"Ù
Text 14,2,"Il semble donc que cette suite"Ù
Text 20,2," soit strictement croissante."Ù
Text 26,2,"3. Pour tout entier naturel n,"Ù
Text 32,2," on note Cn la matrice colonne"Ù
Text 38,2,"un+1"Ù
Text 44,2,"un"Ù
Text 50,2,"."Ù
Text 56,2,"– Avec A="Ø
ClsÙ
Text 2,2,"5 -6"Ù
Text 8,2,"1 0"Ù
Text 14,2,", on a ACn ="Ù
Text 20,2,"5 -6"Ù
Text 26,2,"1 0"Ù
Text 32,2,"multiplie par "Ù
Text 38,2,"un+1"Ù
Text 44,2,"un"Ù
Text 50,2,"="Ù
Text 56,2,"5un+1 -6un"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"un+1"Ù
Text 8,2,"="Ù
Text 14,2,"un+2"Ù
Text 20,2,"un+1"Ù
Text 26,2,"=Cn+1."Ù
Text 32,2,"De ce fait Cn+1 =ACn."Ù
Text 38,2,"– On a donc facilement par r"Ù
Text 44,2,"ecurrence, ou par analogie ave"Ù
Text 50,2,"c une suite numerique geometri"Ù
Text 56,2,"que, pour tout"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"entier naturel n, Cn =A^nC0."Ù
Text 8,2,"4. Soient P="Ù
Text 14,2,"2 3"Ù
Text 20,2,"1 1"Ù
Text 26,2,", D ="Ù
Text 32,2,"2 0"Ù
Text 38,2,"0 3"Ù
Text 44,2,"et Q ="Ù
Text 50,2,"-1 3"Ù
Text 56,2,"1 -2"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"
"Ù
Text 8,2,".– Calculons QP."Ù
Text 14,2,"QP="Ù
Text 20,2,"-1 3"Ù
Text 26,2,"1 -2"Ù
Text 32,2,"multiplie par "Ù
Text 38,2,"2 3"Ù
Text 44,2,"1 1"Ù
Text 50,2,"="Ù
Text 56,2,"1 0"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"0 1"Ù
Text 8,2,"= Id2"Ù
Text 14,2,"– On admet que A =PDQ."Ù
Text 20,2,"Demontrons par recurrence que,"Ù
Text 26,2," pour tout entier naturel non "Ù
Text 32,2,"nul n, An = PD^nQ."Ù
Text 38,2,"– Initialisation :"Ù
Text 44,2,"Pour n =1 on a PD^1Q =PDQ =A p"Ù
Text 50,2,"ar hypothese."Ù
Text 56,2,"– Heredite :"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"Supposons que pour n fixe, An "Ù
Text 8,2,"=PD^nQ, alors :"Ù
Text 14,2,"An+1 =A.An = A.PD^nQ et puisqu"Ù
Text 20,2,"e A =PDQ"Ù
Text 26,2,"An+1 =PDQ.P.D^nQ or QP =Id2 do"Ù
Text 32,2,"nc"Ù
Text 38,2,"An+1 =PD.Id2.D^n.Q"Ù
Text 44,2,"An+1 =P DD^n"Ù
Text 50,2,"An+1 =PD^n+1.Q"Ø
ClsÙ
Text 2,2,"
"Ù
Stop